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Equações de primeiro grau

Equação é a definição para uma sentença aberta em forma de igualdade. 

Na matemática parece tudo tão complicado, não é mesmo?! Então vamos lá!

Igualdade, como o próprio nome já diz, é uma sentença que possui um sinal de “igual”, ou seja, o lado direito da expressão matemática representa uma igualdade com o que há no lado esquerdo, ou, melhor dizendo, o primeiro membro da equação (o que está do seu lado esquerdo) é a mesma coisa do que o segundo membro (o que está do seu lado direito do sinal de igualdade). Mas você ainda deve estar confuso porque não lhe apresentamos a tal da sentença aberta. 

Quando ouvimos sentença, intuitivamente somos induzidos a pensar em algo do Poder Judiciário: o juiz condena ou absolve o réu baseado na exposição dos fatos. Pois bem, é mais ou menos isso.
Uma sentença pode ser tomada como verdadeira ou como falsa, mas nunca pode ser as duas coisas ao mesmo tempo. Veja os exemplos (ou fatos) expostos a seguir:


Diante do primeiro fato, percebemos que a divisão da idade do seu avô (78) por 2, subtraída da idade da sua irmã caçula (7), não é a melhor representação para a sua idade sendo, portanto, uma sentença falsa, pois o resultado é a idade do seu tio (32). Na segunda sentença (ou fato), a multiplicação da idade da sua irmã caçula por 3, subtraída do mesmo 3 é de fato a sua idade (portanto, uma sentença verdadeira). Note que na terceira sentença aparece uma letra n. Se assumirmos que esse n vale um número diferente de 8, o resultado não será a idade da sua querida avó (65) e teremos outra sentença falsa. Mas se dissermos “sim! n é igual a 8”, então a sentença passa a ser verdadeira. 

Perceba que n pode assumir qualquer valor que determinemos, mesmo que a sentença se torne falsa. Quando isso ocorre, dizemos tratar-se de uma sentença aberta (pois o valor de n está em aberto). Além disso, por ter um sinal de igualdade, a nossa expressão matemática passa a ser categoricamente uma equação (equa, proveniente do latim, significa “igual”). A letra n, nesses casos, ou qualquer outra que possa assumir qualquer valor, é tida como a variável da equação, ou incógnita.

O número que a variável n deve assumir para tornar a sentença aberta (equação) verdadeira é chamado de raiz ou solução da equação. Posto isso, daremos um passo adiante fundamentando algumas definições:

• Como exposto anteriormente, a raiz (solução) de uma equação é o valor assumido pela incógnita que torna verdadeira a sentença aberta;
• Quando temos uma ou mais raízes que possam tornar a sentença aberta verdadeira, denominamos esse conjunto de soluções de conjunto-verdade;
• O verbo que utilizamos para o ato de determinar o conjunto-solução da equação é Resolver;

Geralmente, cada tipo de sentença aberta na forma de igualdade, ou equação, possui uma maneira em específico de ser resolvida, ou, um método próprio para a sua solução, tais como as equações de primeiro e segundo grau. Para resolver os polinômios, por exemplo, temos mais de um método possível. 

Veremos agora um pouco sobre as sentenças abertas em forma de igualdade que constituem uma equação de primeiro grau. Os métodos para a solução de equações de segundo grau e para a resolução dos polinômios serão vistos em outros tópicos.

Uma sentença aberta na forma de igualdade definida por uma variável que seja redutível ao tipo g.y + h = 0 é uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Sua solução pode ser dada como a seguir:



Maravilha! Transformamos a sentença aberta g.y + h = 0 em outra sentença aberta y = –h/g , isolando de um lado da igualdade a variável de interesse: y. 

Contudo, para determinarmos o conjunto-solução de uma equação é necessário, antes de proceder da maneira que demonstramos acima, analisar quem são os outros elementos da equação (termos adicionais e coeficientes).

Suponha que g e h sejam nulos na igualdade g.y + h = 0,


Logo, y poderá assumir qualquer valor. Este “qualquer valor” é qualquer um mesmo, então, o melhor conjunto para representar o conjunto-solução (ou verdade) é o conjunto dos números reais, V = {R}. Note que não temos apenas um resultado, mas infinitos.

Já em outro caso, onde somente g seja nulo, não importa qual seja h, o conjunto-solução da igualdade é vazio, V = {Ø}, pois,


resume-se em uma sentença falsa. Não se pode dividir um número por zero.
Agora, sendo h e g valores definidos e não-nulos, o conjunto solução é representado pela única raiz existente da relação, y = –h/g, ou seja, V = {–h/g}.

Uma equação do primeiro grau pode também estar apresentada na forma de duas incógnitas, neste caso, necessitamos representar o problema na forma de um sistema de equações, ao qual denominamos de sistema linear. Veja um exemplo típico em vestibulares:

“Pedro, um agricultor, recentemente semeou uma plantação de algodão em uma área 3 vezes maior do que a plantação de soja que ele já possuía. Sabe-se que, no total, sua propriedade é de 3 hectares. Qual é a área plantada de soja?!”

Neste caso devemos entender que o problema trata da incógnita “área” plantada, em hectares. Se a soma da plantação de soja S mais a de algodão A é de 3 hectares, e a área de algodão é 3 vezes maior do que a de soja, então temos duas incógnitas e duas equações. Isso nos permite representá-las em um sistema de equações lineares:


O método para a solução deste problema é substituir na primeira equação o valor de A dado na segunda equação, tornando-a uma equação com apenas uma incógnita:


Logo, a área plantada de soja é de ¾ hectares.

Agora, dê mais um passo e leia o tópico sobre equações de segundo grau!

Um comentário:

Anônimo disse...

só faltou um grafico.....

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