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Equações de segundo grau

Após nos familiarizarmos com as equações de primeiro grau, no tópico Equações I, vamos agora compreender como solucionar também equações de segundo grau.

Na matemática, quase sempre nos deparamos com problemas que nos levam a uma equação quadrática, e encontrar suas raízes nem sempre é uma tarefa fácil, mas podemos torná-la prazerosa à medida que nos acostumamos a resolvê-los utilizando métodos tradicionais ágeis.

Dizemos que uma equação é algébrica quando sua variável está sujeita às operações algébricas de somar, subtrair, dividir, multiplicar. Uma equação pode ser representada na sua forma canônica quando conseguimos escrevê-la da seguinte forma:


onde n é um número natural (veja mais no tópico sobre Conjuntos Numéricos).
Quando n, o maior expoente da equação, na sua forma canônica, é igual a 2, diz-se que a equação é de segundo grau, ou que se trata de uma equação quadrática. Como a seguir:


A solução dessa equação quadrática tem algo em particular. Suas raízes podem ser encontradas através de um método bastante conhecido, a famosa Fórmula de Bhaskara:

onde x1 e x2 denotam as duas possíveis raízes da equação quadrática, para a≠0. O termo dentro da raiz (∆) é chamado delta e é calculado da seguinte forma,

Entre todos os nomes famosos que referenciamos na história da matemática, o de Bhaskara talvez seja o mais comum, pois, para a solução de uma equação de segundo grau, utilizamos a sua fórmula. Parece até uma expressão de mágico: “Àbraca Bháskara!

Na verdade, Bhaskara foi um indiano esperto do século XII que estudou muita matemática (porque o pai dele lhe ensinou) e publicou seis obras relacionadas à mátemática e à astronomia, entre as quais as mais referenciadas na história da matemática são Vijaganita (“extração de raízes”), que trata da proposição de problemas quadráticos, e o livro Lilavati (“Graciosa”), o mais famoso de suas obras, o qual possui 13 capítulos nos quais ele expõe quatro métodos para extração de raízes. O curioso dessa obra é que ela não se parece em nada com a forma com que as teorias matemáticas nos são apresentadas hoje em dia. Os problemas matemáticos de Lilavati aparecem em forma de pequenos enigmas que podem ser traduzidos por equações de segundo grau. Veja abaixo um exemplo disso:

Verso 77

De um grupo de abelhas pretas, a raiz quadrada de metade foi para a árvore malati. De novo oito nonos das abelhas foram para a árvore malati. Das duas restantes, uma foi apanhada numa flor de lótus, cuja fragrância a cativou; ele começou a lamuriar-se e a sua amada respondeu. Então, ó amada, quantas abelhas havia?

Vamos ajudar a amada de Bhaskara a se livrar dessas abelhas pretas. Veja como podemos solucionar o enigma. O problema deve ser interpretado corretamente, na forma de uma equação quadrática,


De um lado, temos a soma das abelhas que saíram de onde estavam (a raiz quadrada da metade do grupo “G” mais oito nonos do grupo todo, que foram para a àrvore de malati, e também a outra que se cativou com a fragrância da flor de lótus e foi apanhada) e no outro membro temos o total de abelhas do grupo subtraída a abelha medrosa que permaneceu onde estava desde o início. Agora, manipulando algebricamente a expressão:



Assim, após simplificações, chegamos a uma equação quadrática de nosso interesse:



Vamos, então, resolver segundo Bhaskara:


Como não havia meia abelha naquela época, você já sabe que eram 72 abelhinhas pretas.

Embora tenhamos visto as descobertas de Bhaskara, a novidade de resolver problemas quadráticos já estava, por volta de 2.000a.c., registrada em textos pelos babilônicos. Tratava-se de alguns métodos para se calcular, por exemplo, a área de figuras (que recaem em problemas típicos de “segundo grau”). Veja um exemplo:

qual o lado de um quadrado, em que a área menos o lado é igual a 14;30?

Naquela época, contudo, a representação dos números pelos babilônicos consistia em uma mescla das bases 10 e 60, diferente da que utilizamos hoje (base 10). Esse 14;30 é na verdade a representação na base babilônica (não precisamos entender agora) e significava: 14.(601) + 30.(600). O resultado dessa conta você consegue, é 870. Então, a partir da interpretação do problema, o representamos em forma de uma equação do segundo grau,

Note que, o lado do quadrado é dado por l, e sua área por lado ao quadrado, l2. Realizando a solução por Bhaskara, você verá que a raiz positiva fornece um lado do quadrado igual a 30.

Mas, falando o nosso português cotidiano, foi um matemático francês, François Viète, já no século XVI, que representou os coeficientes, outrora numéricos, por letras, dando de verdade a cara de uma equação (da qual estamos acostumados). Abaixo, apresentamos a você, o raciocínio utilizado por Bhaskara para a solução de problemas quadráticos (somente no Brasil, a partir da década de 60, é que esta forma de resover equações de segundo grau é chamada de Fórmula de Bhaskara):

Tomando a equação quadrática na forma canônica, e isolando o coeficiente c, podemos multiplicar ambos os membros por 4.a:



Agora, somando ao lado esquerdo e direito o segundo coeficiente ao quadrado, b2, tem-se:


Mais uma vez, a Fatoração entra em cena! Transformamos os termos do primeiro membro da equação em um quadrado perfeito:


Extraindo a raiz de ambos os membros, chegamos a uma equação de primeiro grau, que pode ser resolvida de maneira tradicional:

Da existência de uma raiz quadrada, o procedimento é calcular o módulo do que há dentro da raiz (veja mais no tópico MÓDULO), assim, teremos o sinal de mais e o de menos, pois, o quadrado de um número é sempre positivo, seja ele positivo ou negativo. Manipulamos a expressão e chegamos à:


“Àbraca Bháskara!”.

Veja que o sinal mais ou menos (±) exprime a existência de dois valores para a raiz quadrada. O sinal de ± não é uma operação matemática válida, apenas traduz a idéia de dois valores, um positivo e outro negativo. A melhor maneira de se explicitar as duas raízes da equação é:


onde o Delta (∆) é analisado caso a caso, para os valores positivos, nulos ou negativos, determinando, assim, nosso conjunto verdade (que pode estar contido dentro dos números reais ou complexos). Até breve!

Um comentário:

Anônimo disse...

Muito bein explicado gostei muito

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