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Fatoração I

Inevitavelmente usamos a calculadora para efetuar a multiplicação de números grandes. Na hora de resolver um polinômio, assustamo-nos com o seu grau e desistimos, ou, quando não, determinamos suas raízes erradamente. Surgem até circunferências representadas por equações que não conseguimos sequer determinar seu raio.

Com o intuito de facilitar nossa vida, a Matemática nos impressiona com a agilidade e a elegância que a Álgebra nos proporciona por meio da Fatoração. Fatorar é simplificar visualmente a expressão, no intuito de facilitar o cálculo, convertendo uma soma de parcelas em um produto de fatores. Quando você ouve seu professor dizer “simplificando, isolando, dividindo por, pondo em evidência”, na verdade, em termos mais técnicos, o que ele está fazendo é a Fatoração da expressão.

Veja, a Fatoração é apenas uma etapa do procedimento para resolução de um problema ou expressão matemática, mas é a ferramenta imprescindível, extremamente útil e é por isso que você precisa aprendê-la! Leia com atenção e tente resolver sozinho, os problemas aqui apresentados.

A Fatoração permite que uma soma de duas ou mais parcelas possa ser representada por um produto de dois ou mais fatores. Para exemplificar as transformações que a Fatoração permite, vejamos os exemplos que se seguem:
a.x+a.y+b.z+c.z

A expressão matemática acima está representada pela soma das parcelas ax, ay, bz e cz. Quando fatoramos, estamos representando a expressão por um produto de fatores. Para fazer isso, separamos as constantes das variáveis na expressão por um FATOR COMUM:

a.x+a.y+b.z+c.z=a.(x+y)+z.(b+c)

Note que, no exemplo acima, a soma das parcelas ax, ay, bz e cz foram desfeitas e se transformaram em um produto dos fatores a e (x+ y); z e (b+ c).
Veja como podemos reduzir a soma de uma grande quantidade de parcelas em apenas o produto de dois fatores:
b.y+b.z+c.y+c.z=b.(y+z)+c.(y+z)
b.(y+z)+c.(y+z)=(b+c).(y+z)
b.y+b.z+c.y+c.z=(b+c).(y+z)

Esta prática é denominada AGRUPAMENTO.
Usualmente, fatorar uma expressão ou um polinômio é transformá-lo em um fator comum, em um agrupamento (como foi mostrado acima), ou ainda em outras formas reduzidas. Na Fatoração, o produto da soma pela diferença é a representação da DIFERENÇA DE QUADRADOS, como exposto à seguir:
(x+y)(x-y)=x2-x.y+y.x-y2
x2-x.y+y.x-y2=x2-y2
(x+y)(x-y)=x2-y2

Esta técnica pode, por exemplo, auxiliar-nos quando nos deparamos com a multiplicação de números com elevada ordem de grandeza, números estes que não estamos acostumados a resolver através da tabuada, ou seja, de cabeça. Veja:

4901.4899=(4900+1).(4900-1)
4900.4900+4900.(-1)+4900.(1)+(1).(-1)
49002-12= [(49)2.(100)2]-1
[(2401).(10000) ]-1=24010000-1
4901.4899=24009999

Viu como facilita!? Mesmo sem a calculadora podemos perfeitamente resolver uma multiplicação, apenas fatorando a expressão em uma DIFERENÇA DE QUADRADOS.

Outro caso típico de fatoração é o chamado QUADRADO PERFEITO. Todos já devem ter ouvido falar que o quadrado da SOMA de duas parcelas é igual à primeira ao quadrado mais o dobro da multiplicação da primeira pela segunda mais o quadrado da segunda parcela, ou seja:

(x+y)2=(x+y).(x+y)
x2+x.y+y.x+y2=x2+2.x.y+y2
(x+y)2=x2+2.x.y+y2

Essa você já deve até ter decorado! Analogamente, se tivermos o quadrado da DIFERENÇA de duas parcelas, (x – z)2, o resultado será o quadrado da primeira (x2) menos o dobro do produto da primeira pela segunda [–2.(x).(z)] mais o quadrado da segunda (z2).
Veja agora um exemplo no qual aplicamos este conceito de QUADRADO PERFEITO (quadrado da SOMA) junto com a técnica anteriormente definida da DIFERENÇA DE QUADRADOS.

Calcule 9342872 – 9342862. Olhe a simplicidade:

9342872-9342862=[(934286+1).(934286+1) ]-9342862
[9342862+2.(934286).(1)+12]-9342862=2.(934286)+1
1868572+1=1868573
9342872-9342862=1868573

Matemagicamente, usando seu raciocínio aliado às técnicas de Fatoração você pode simplificar e até resolver problemas que pareciam impossíveis.

Lembre-se de que é imprescindível usar as técnicas de Fatoração. Mostraremos então, como através da “tabuada” e do QUADRADO PERFEITO (quadrado da DIFERENÇA) conseguimos determinar as coordenadas do centro e do raio de uma circunferência conhecendo apenas sua equação.

Seja uma circunferência dada pela equação x2 – 2x + y2 – 6y = 22. Determine onde está localizado o seu centro no plano cartesiano e o valor do seu raio.
Vamos lá:

x2+y2-2.x-6.y-22=0
x2+y2-2.(x).(1)-2.(y).(3)-22=0
x2+y2-2.(x).(1)-2.(y).(3)+10=22+10
x2-2.(x).(1)+1+y2-2.(y).(3)+9=32
(x-1)2+(y-3)2=(√32)2

Note que utilizamos o procedimento inverso para a fatoração através do QUADRADO PERFEITO. Encontramos uma expressão semelhante à de uma equação reduzida da circunferência: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, na qual a e b são as coordenadas do seu centro e r o seu raio. Portanto, no exemplo acima, teremos que centro C(1,3) e raio R=√32.

Agora, revise os exemplos e leia na seqüência o próximo tópico sobre Fatoração.

Um comentário:

Princess Immortal disse...

Explicativo { .. } Ajudou muito {:

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