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Fatoração II

De maneira idêntica ao outro tópico sobre Fatoração, quando falamos de QUADRADO PERFEITO ao nos referir ao quadrado de uma soma ou de uma diferença, o cubo de uma soma ou da diferença de duas parcelas denomina-se CUBO PERFEITO [(a + b)3 ou (a – b)3], e o raciocínio procede-se da mesma forma: devemos desenvolver ou reduzir a expressão matemática do CUBO PERFEITO com o intuito de simplificar a resolução de um problema matemático.
Desenvolver o CUBO PERFEITO é somar o cubo da primeira parcela (a3) ao cubo da segunda parcela (b3) mais três vezes o quadrado da primeira vezes a segunda (3a2b) e mais três vezes a primeira vezes o quadrado da segunda (3ab2). Veja abaixo como chegamos a esta simplificação: 

Como todos os outros casos típicos de Fatoração, esta ferramenta da álgebra auxilia-nos na simplificação e solução de problemas de outra área da matemática, como por exemplo, a geometria, na qual efetuamos o cálculo do volume de um cubo, como o próprio nome nos induz a pensar. Veja o problema a seguir:

Dispomos de um sólido geométrico de altura h, cujas medidas da largura e da sua profundidade no espaço sejam idênticas à sua altura. Considere que seus lados foram diminuídos por uma quantidade l e a expressão do seu volume é dada a seguir:

Simplifique a expressão e calcule o volume.

Para a solução deste problema, devemos estar familiarizados com o desenvolvimento da expressão do cubo da DIFERENÇA ou da SOMA de duas parcelas e proceder inversamente


O resultado agora fica muito mais fácil de ser computado, seja em uma calculadora, seja fortalecendo os neurônios.
Contudo, a técnica do CUBO PERFEITO não deve ser confundida com a SOMA E DIFERENÇA DE CUBOS, mais um dos nossos casos comuns para Fatoração.
Se existe alguma impressão de que seja a mesma coisa, note os sinais da expressão acima e da que se segue e veja que no CUBO PERFEITO temos o cubo da soma de duas parcelas e, na SOMA E DIFERENÇA DE CUBOS, como o próprio nome diz, o cubo de uma parcela é somado ou subtraído do cubo da outra, observe a sentença dada:


Desenvolvendo ambos os lados desta expressão, temos:

Vê-se que ambos os lados possuem um fator em comum (r + k) e que, para o CUBO PERFEITO ser equivalente à SOMA DE CUBOS, o fator (r2 + 2rk + k2), pertencente ao lado direito, deveria ser igual ao fator existente do lado esquerdo (r2 – rk + k2). Na verdade, um deve 1 rk e o outro tem 2 rk, por isso há um símbolo “diferente”.
Logo, não existe identidade entre o cubo da SOMA e a SOMA DE CUBOS, pois este último é o produto do fator (r + k) pelo fator (r2 – rk + k2).

Vamos conhecer agora mais uma mágica a se realizar com a Fatoração.
Parece uma tarefa impossível encontrar as raízes do polinômio p(x) = 64x3 – 27, pois, intuitivamente, teríamos que extrair a raiz cúbica de um número racional!


Você consegue resolver sem a calculadora e determinar a partir desta expressão acima as três raízes do polinômio!? 
Veja como fica simples se usarmos as técnicas da Fatoração:


Viu? O primeiro passo está dado! Esta é uma DIFERENÇA DE CUBOS e se a desenvolvermos teremos:


Vamos tomar agora as duas parcelas do polinômio Fatorado, ou seja, os dois fatores [(4x–3) e (16x²+12x+9)], e resolvermos separadamente a equação do primeiro grau e a outra do segundo grau.
Ao final das contas, resolvendo as equações de primeiro e segundo grau, você encontrará as três raízes do polinômio p(x). A variável x poderá assumir três valores, um dentro do conjunto dos números reais (0,75) e os outros dois valores pertencentes ao conjunto dos números complexos,


  e seu conjugado


 mas isso não vem ao caso por enquanto.

Somente guarde debaixo do travesseiro e treine bastante com seu avô as técnicas e os casos típicos de fatoração, eles lhes serão muito úteis na hora de solucionar problemas. Por hoje vamos Fatorar o nosso cérebro para guardar as leis maiores da Fatoração:

O QUADRADO da diferença (um QUADRADO PERFEITO) não é uma DIFERENÇA entre QUADRADOS, e com a soma também não ocorre este trocadilho;
·        O cubo da SOMA (um CUBO PERFEITO) é diferente da SOMA DE CUBOS;
·        Para finalizar, a DIFERENÇA entre CUBOS nunca foi e nunca será o cubo da DIFERENÇA.
Revise todos esses conceitos de Fatoração e aproveite! Quando estiver simplificando uma expressão para resolver um problema você se lembrará da Fatoração e encontrará o caminho mais simples e fácil.

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